矢量的运算

\(\qquad\) 对于一个矢量，我们可以将其差分为三个相互独立的方向。即：
\[ \textbf{A}\equiv A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z} \]
\(\qquad\) 在此基础上，我们可以进一步定义矢量的加、减、数乘、点乘、叉乘、并矢、以及其所特有的微分运算。这里略去大家熟知的数乘，我们来详细了解一下点乘、叉乘、并矢运算和微分运算：

\(\qquad\) 首先是点乘运算，我们将其定义为：
\[ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\equiv A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z=A_i B_i \]
其中后面的表达式用到了Einstein求和法则（出现相同的指标时就意味着求和）
\(\qquad\) 接下来介绍叉乘运算，我们都知道对于一个三维的矢量，我们可以通过行列式来进行叉乘运算，接下来我们会更多的采用Einstein求和法则来进行描述，我们将叉乘运算定义为：
\[ \mathbf{A}\times\mathbf{B}\equiv\epsilon^{ijk}A_{i}B_{j}\hat{e_{k}} \]
\(\qquad\) 其中Einstein符号\(\epsilon^{ijk}=(-1)^\tau\)，\(\tau\)是\(ijk\)排列的逆序数。当然对于叉乘运算，我们还有一些与几何相关的结论：

  1. |\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\)|给出矢量\(\mathbf{A}\)和矢量\(\mathbf{B}\)张成的平面的面积。

  2. |\(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\)|给出了这三个矢量在空间中张成的平行六面体的体积，如果不加绝对值，其中还会给出正负以为着集合体的空间朝向。

  3. 从2中不难看出，这种点乘加叉乘的形式具有一定的轮换性，即：
    \[ \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A}) \]

\(\qquad\) 下面我们来了解一个全新的概念，也是一种矢量运算，我们称之为并矢运算，这种运算可以通过两个矢量生成一个\(3\times3\)的矩阵，并矢运算定义为：

\[ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij}\equiv A_i B_j \]

在一般情况下，并矢运算是不满足交换率的，从定义也不难看出：
\[ (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij}=A_i B_j\ne A_j B_i=(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ji} \]

eg1.1 学习使用分量式来证明矢量公式
证明：
\[ (\mathbf{A}\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}) \]
给出例题的证明过程：

\[ [(\mathbf{A}\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}]_{i}=(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij}C_j=A_i B_j C_j=A_i (\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}) \]
即给出上述结论。

\(\qquad\) 不管是标量、矢量还是我们通过并矢得到的矩阵，这些可以被认为成张量。标量是零阶张量，矢量是一阶张量，方阵则是二阶矩阵。当你意识到上述运算其实就是通过不同的定义来进行升降阶时，你就理解了这些运算的真谛了。在此基础上我们可以定义一种新的运算方式——双点乘，可以将一个二阶张量直接降到零阶。定义为：

\[ (\mathbf{A}\mathbf{B}):(\mathbf{C}\mathbf{D})\equiv(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D})(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}) \]

当然你也可以认为这是它的一种性质，那么分量定义为：

\[ (\mathbf{A}\mathbf{B}):(\mathbf{C}\mathbf{D})\equiv A_i D_i B_j C_j \]

还有一种理解是两个矩阵相乘后取Trace（迹）：

\[ (\mathbf{A}\mathbf{B}):(\mathbf{C}\mathbf{D})=Tr((\mathbf{A}\mathbf{B})(\mathbf{C}\mathbf{D})) \]

两个相同的方阵相乘得到的还是一个方阵，

\[ (\mathbf{A}\mathbf{B})(\mathbf{C}\mathbf{D})_{ij} =(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ik} (\mathbf{C}\mathbf{D})_{kj} =A_i B_k C_k D_j \]

再取迹就可以得到双点乘的定义了。

矢量的微分

在学习电动力学时，我们使用的矢量或张量通常会以场的形式出现，即在空间中\(\mathbf{r}\)处存在的一个张量场\(T_{ij\cdots}(\mathbf{r})\)，例如电势场\(\phi(\mathbf{r})\)、电场\(\mathbf{E}(\mathbf{r})\)、四维电磁场张量\(F_{\mu\nu}\)，这时场是坐标的函数，我们可以对其进行微分运算,包括梯度、散度和旋度三种。他们的运算方式都衍生于一个算符\(\nabla\),读作nabla或del，定义为：

\[ \nabla\equiv\hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z} \]

在直角坐标系下，定义是直接且很好记忆的，公式如下：

直角坐标(\(x_1,x_2,x_3\)):梯度、散度、旋度、Laplace运算:
\[ \nabla\psi=\hat{\mathbf{e_{1}}}\frac{\partial\psi}{\partial x_1}+\hat{\mathbf{e_{2}}}\frac{\partial\psi}{\partial x_2}+\hat{\mathbf{e_{3}}}\frac{\partial\psi}{\partial x_3} \]

\[ \nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x_1}+\frac{\partial A_2}{\partial x_2}+\frac{\partial A_3}{\partial x_3} \]

\[ \nabla\times\mathbf{A}=\hat{\mathbf{e_1}}(\frac{\partial A_3}{\partial x_2}-\frac{\partial A_2}{\partial x_3})+\hat{\mathbf{e_2}}(\frac{\partial A_1}{\partial x_3}-\frac{\partial A_3}{\partial x_1})+\hat{\mathbf{e_3}}(\frac{\partial A_2}{\partial x_1}-\frac{\partial A_1}{\partial x_2}) \]

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_{3}^{2}} \]

这些算符还会进行相互组合的运算，例如：Laplace算符：\(\nabla\cdot(\nabla T)=\nabla^{2}T\)
还有两个比较重要的组合，也是重要的结论：
\[ \nabla\times(\nabla T)=0 \]

\[ \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 \]

即梯度没有旋度、旋度没有散度。
\(\qquad\) 回忆一下刚刚的Einstein求和法则，我们可以进一步简化公式1.1中的运算公式：

直角坐标\((x_1,x_2,x_3)\)下梯度、散度、旋度和Laplace算符的Einstein求和记法：
\[ \nabla\psi=\hat{\mathbf{e_i}}\partial_i\psi \]

\[ \nabla\cdot\mathbf{A}=\partial_i A_i \]

\[ \nabla\times\mathbf{A}=\epsilon^{ijk}\partial_i A_j \mathbf{\hat{e_k}} \]

\[ \nabla^{2}\psi=\partial_i \partial^i\psi \]

解释一下这里出现了上下标，我们会在后面学习相对论时更加广泛的使用，目前就认为和下标一样就OK。
\(\qquad\) 更进一步的了解微分运算，首先要明白在不同坐标系下的微分运算形式，虽然数乘、叉乘、点乘在两个常矢量间的作用在各个坐标系下是一样的，但是由于坐标的变化，微分运算会发生很大的改变，当坐标由\((x,y,z)\)变化为\((u,v,w)\)时，有\(d\mathbf{r}=fdu\hat{\mathbf{u}}+gdv\hat{\mathbf{v}}+hdw\hat{\mathbf{w}}\)，微分运算会相应的改变，改变主要与函数\(f,g,h\)有关(具体推导方法参考《数学物理方法》)。

坐标变换下的梯度、散度、旋度和Laplace算符的变化
\[ \nabla t=\frac{1}{f}\frac{\partial t}{\partial u}\hat{\mathbf{u}}+\frac{1}{g}\frac{\partial t}{\partial v}\hat{\mathbf{v}}+\frac{1}{h}\frac{\partial t}{\partial w}\hat{\mathbf{w}} \]

\[ \nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{fgh}[\frac{\partial}{\partial u}(ghA_u)+\frac{\partial}{\partial v}(fhA_v)+\frac{\partial}{\partial w}(fgA_w)] \]

\[ \nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{gh}[\frac{\partial}{\partial v}(hA_w)-\frac{\partial}{\partial w}(gA_v)]\hat{\mathbf{u}}+\frac{1}{fh}[\frac{\partial}{\partial w}(fA_u)-\frac{\partial}{\partial u}(hA_w)]\hat{\mathbf{v}}+\frac{1}{fg}[\frac{\partial}{\partial u}(gA_u)-\frac{\partial}{\partial v}(fA_u)]\hat{\mathbf{w}} \]

\[ \nabla^{2}t=\frac{1}{fgh}[\frac{\partial}{\partial u}(\frac{gh}{f}\frac{\partial t}{\partial u})+\frac{\partial}{\partial v}(\frac{fh}{g}\frac{\partial t}{\partial v})+\frac{\partial}{\partial w}(\frac{fg}{h}\frac{\partial t}{\partial w})] \]

应该不会有人真能背下来吧

下面列举几个我们常见坐标系的\(f,g,h\)函数：

坐标系 u v w f g h
直角坐标 x y z 1 1 1
球坐标 r \(\theta\) \(\phi\) 1 r r\(\sin\theta\)
柱坐标 \(\rho\) \(\phi\) z 1 \(\rho\) 1

你如果这能记住，那你比卢本伟还牛逼。一般来说需要用的时候来查查公式表就可以了。比如下面就是球坐标和柱坐标下的梯度、散度、旋度以及Laplace算符的形式：

球坐标
\[ \nabla\psi=\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\hat{\mathbf{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}+\hat{\mathbf{\phi}}\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial\psi}{\partial\phi} \]

\[ \nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}A_1)+\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin{\theta}A_2)+\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial A_3}{\partial\phi} \]

\[ \nabla\times\mathbf{A}=\hat{\mathbf{r}}\frac{1}{r\sin{\theta}}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin{\theta}A_3)-\frac{\partial A_2}{\partial\phi}\right]+\hat{\mathbf{\theta}}\left[\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial A_1}{\partial\phi}-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(rA_3)\right]+ \hat{\mathbf{\phi}}\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rA_2)-\frac{\partial A_1}{\partial\theta}\right] \]

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}\frac{\partial\psi}{\partial r})+\frac{1}{r^{2}\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin{\theta}\frac{\partial\psi}{\partial \theta})+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}\frac{\partial^2 \psi}{\partial\phi^2} \]

柱坐标：
\[ \nabla\psi=\hat{\mathbf{\rho}}\frac{\partial\psi}{\partial \rho}+\hat{\mathbf{\phi}}\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\phi}+\hat{\mathbf{z}}\frac{\partial\psi}{\partial z} \]

\[ \nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_1)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_2}{\partial \phi}+\frac{\partial A_3}{\partial z} \]

\[ \nabla\times\mathbf{A}=\hat{\mathbf{\rho}}(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_3}{\partial \phi}-\frac{\partial A_2}{\partial z})+\hat{\mathbf{\phi}}(\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial \rho})+\hat{\mathbf{z}}\frac{1}{\rho}(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_2)-\frac{\partial A_1}{\partial \phi}) \]

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\frac{\partial\psi}{\partial\rho})+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}} \]

矢量恒等式

\(\qquad\) 我们在实际理论运算时（尤其是面对大学期中期末考试时），一般不会有老师真的让你放在球坐标或柱坐标中完完全全的算出什么东西，这时利用好矢量间的恒等关系是十分重要的。这些恒等式都是可以通过分量表达式简单地推出来，所以也不必特意去记忆，更多地，你需要记下下面的公式：
\[ \epsilon^{ijk}\epsilon^{imn}=\delta^{jm}\delta^{kn}-\delta^{jn}\delta^{km} \]
当然，如果你是第一次见到这个公式，你可以将所有分量全部写出来来验证这个公式，即：
\[ T^{jkmn}=\epsilon^{ijk}\epsilon^{imn} \]

\[ R^{jkmn}=\delta^{jm}\delta^{kn}-\delta^{jn}\delta^{km} \]

\(\qquad\) 我们可以利用这个公式对很多叉乘问题进行简化，尤其是双叉乘问题，例如下面这个问题：

eg 1.2 证明bac-cab法则，即：
\[ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \]
给出过程：
\[ LHS=\epsilon^{ijk}a_{i}(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_j\hat{\mathbf{e_k}}=\epsilon^{ijk}\epsilon^{mnj}b_m c_n \hat{\mathbf{e_k}} \]

\[ LHS=(\delta^{km}\delta^{in}-\delta^{kn}\delta^{im})a_i b_m c_n \hat{\mathbf{e_k}}=a_i b_k c_i \hat{\mathbf{e_k}}-a_i b_i c_k \hat{\mathbf{e_k}}=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=RHS \]

即给出了所需证明的结果

当然，通过这种方法可以推导出许多这样的公式，列举一部分在下面，感兴趣的话可以尝试逐一证明一下。

矢量分析重要公式
\[ a\cdot(b\times c)= c\cdot(a\times b)= b\cdot(c\times a) \]

\[ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \]

\[ \nabla\times(\nabla\times a)=\nabla(\nabla\cdot a)-\nabla^{2}a \]

\[ \nabla\cdot(\psi a)=a\cdot\nabla\psi+\psi\nabla\cdot a \]

\[ \nabla\times(\psi a)=\nabla\psi\times a+\psi\nabla\times a \]

\[ \nabla(a\cdot b)=(a\cdot \nabla)b+(b\cdot\nabla)a+a\times(\nabla\times b)+b\times(\nabla\times a) \]

\[ \nabla\cdot(a\times b)=b\cdot(\nabla\times a)-a\cdot(\nabla\times b) \]

\[ \nabla\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{a}(\nabla\cdot\mathbf{b})-\mathbf{b}(\nabla\cdot\mathbf{a})+(\mathbf{b}\cdot\nabla)\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot\nabla)\mathbf{b} \]

\[ \nabla\cdot(\mathbf{Arr})=(\nabla\cdot\mathbf{A})\mathbf{rr}+\mathbf{Ar}+\mathbf{rA} \]

还有一些关于位矢\(\mathbf{r}=(x,y,z)\)的恒等式关系，我们同样列举出来。

含有位矢的微分运算
\[ \nabla\cdot\mathbf{r}=3 \]

\[ \nabla\times\mathbf{r}=0 \]

\[ \nabla\cdot[\hat{r}f(\mathbf{r})]=\frac{2}{r}f+\frac{\partial f}{\partial r} \]

\[ \nabla\times[\hat{r}f(\mathbf{r})]=0 \]

\[ (\mathbf{a}\cdot\nabla)[\hat{r}f(\mathbf{r})]=\frac{f(\mathbf{r})}{r}[\mathbf{a}-\hat{r}(\mathbf{a}\cdot\hat{r})]+\hat{r}(\mathbf{a}\cdot\hat{r})\frac{\partial f}{\partial r} \]

\[ \nabla(\mathbf{r}\cdot\mathbf{a})=\mathbf{a}+\mathbf{r}(\nabla\cdot\mathbf{a})+i(\mathbf{L}\times\mathbf{a}) \]

其中\(\mathbf{L}=\frac{1}{i}(\mathbf{r}\times\nabla)\)是角动量算符。
\[ \nabla r=\hat{r} \]

\[ \nabla\frac{1}{r}=-\frac{\hat{r}}{r^2} \]

\[ \nabla\cdot(\frac{\hat{r}}{r^2})=4\pi\delta^{(3)}(\mathbf{r}) \]

\[ \nabla^{2}\frac{1}{r}=-4\pi\delta^{(3)}(\mathbf{r}) \]

\[ \nabla^{2}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}=-4\pi\delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r'}) \]

在这部分的最后，我们看一下矢量函数的Talor展开。对于一个矢量函数\(f(\mathbf{r})\)，我们可以通过下面的公式进行展开：
\[ f(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=f(\mathbf{r})-\mathbf{r_0}\cdot\nabla f(\mathbf{r})+\frac{1}{2}r_0 r_0:\nabla\nabla f(\mathbf{r}) \]
据此我们可以得到一个常用的展开式：
\[ \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_0}|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r_0\cdot\hat{r}}}{r^2}+\frac{(3\mathbf{r_0 r_0}-r^{2}_{0}\mathbf{I}):\hat{r}\hat{r}}{2r^3} \]
这个式子还可以改写成下面的形式，如果你熟悉双点乘的话你可以很清楚的看出这个两个表达式完全等价：
\[ \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_0}|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r_0\cdot\hat{r}}}{r^2}+\frac{\mathbf{r_0 r_0}:(3\hat{r}\hat{r}-\mathbf{I})}{2r^3} \]

矢量的积分

矢量当然也存在积分运算，但是大部分与高等数学中所学习的是一样的，这里只把常用的公式罗列出来：

矢量的积分公式
(Divergence theorem)
\[ \int_V\nabla\cdot\mathbf{A}d\tau=\int_S \mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\sigma} \]

\[ \int_V \nabla\psi d\tau=\int_S\psi d\boldsymbol{\sigma} \]

\[ \int_V\nabla\times\mathbf{A}d\tau=\int_S d\boldsymbol{\sigma}\times\mathbf{A} \]

(Green's first identity)
\[ \int_V(\phi\nabla^{2}\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi)d\tau=\int_S\phi\nabla\psi\cdot d\boldsymbol{\sigma} \]
(Green's theorem)
\[ \int_V(\phi\nabla^{2}\psi-\psi\nabla^{2}\phi)d\tau=\int_S(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)\cdot d\boldsymbol{\sigma} \]
(Stoke's theorem)
\[ \int_S(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\boldsymbol{\sigma}=\oint_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l} \]

\[ \int_S d\boldsymbol{\sigma}\times\nabla\psi=\oint_C\psi d\mathbf{l} \]

\(\qquad\) 在最后，我们简单地、不加证明地介绍一下Helmholtz定理。当给定一个矢量场\(\mathbf{F}(\mathbf{r})\)的散度\(D(\mathbf{r})=\nabla\cdot\mathbf{F}\)和旋度\(\mathbf{C}(\mathbf{r})=\nabla\times\mathbf{F}\)。如果有：

  1. \(r\to\infty\)时，\(D(\mathbf{r})\)和\(\mathbf{C}(\mathbf{r})\)衰减快于\(r^{-2}\)；
  2. \(r\to\infty\)时，\(\mathbf{F}(\mathbf{r})\to 0\)。

则此时\(\mathbf{F}(\mathbf{r})\)是唯一确定的，并且可以写成：
\[ \mathbf{F}=-\nabla U+\nabla\times\mathbf{W} \]
其中，
\[ U(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{D(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}d\tau' \]

\[ \mathbf{W}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\mathbf{C}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}d\tau' \]

即，在数学上可以证明，任何可微的矢量函数，都可以写作梯度和旋度的和。