黎曼空间中的张量
\(\qquad\) 我们前面已经讨论了张量的定义以及其运算方法，现在我们具体到一种空间中，以实际的例子来体会以下张量的作用。当我们在仿射空间中引入度规场和不变距离时，我们称这个空间构成一个黎曼空间。
黎曼空间度规张量
\(\qquad\) 我们用度规张量和二次型的方式来定义空间内相邻两个点的距离\(ds\)，可以将其写成：
\[
ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
\]
我们需要规定\(ds\)与坐标无关，即\(ds\)是标量，这样\(g_{\mu\nu}\)就是二阶协变张量，我们将其称为度规张量。我们在线性代数的学习中，我们知道二次型并不是唯一的，所以为了明确起见，我们令\(g_{\mu\nu}\)是对称张量，即：
\[
g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}
\]
在仿射空间中确立了度规场后，空间内任意两个相邻点的距离有了意义，这样的空间就被称为黎曼空间，一个特例就是三维欧氏空间，在欧氏空间中采用笛卡尔坐标系，\(x^1=x,x^2=y,x^3=z\)，这样相邻点的距离公式是：
\[
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2
\]
因而度规张量为：
\[
g_{\mu\nu}=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}
\]
在同一空间中的不同坐标的度规张量也是可以不相同的，例如欧式空间中的球坐标，\(x^1=r,x^2=\theta,x^3=\varphi\)，距离公式变为：
\[
ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2 \theta d\varphi^2
\]
相应的度规张量可以被写成：
\[
g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&r^2&0\\
0&0&r^2\sin^2\theta
\end{bmatrix}
\]
所以看到这里，请注意区分空间和坐标这两个概念，它们在概念上并不相同。再举一个例子，我们在狭义相对论中接触过所谓的闵可夫斯基(Minkowski)空间，取坐标\(x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z\)，这样 不变的距离公式为：
\[
ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2
\]
这样取度规张量为：
\[
g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}
-1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
\equiv\eta_{\mu\nu}
\]
\(\qquad\) 注意对应于一个黎曼空间，如果可以选择一个适当的坐标，使它的度规张量具有如下形式：
\[
g_{\mu\nu}=\begin{cases}
\pm 1,~~~~~\mu=\nu\\
0,~~~~~~~~\mu\neq\nu
\end{cases}
\]
则此时我们可以称这个空间为平坦的黎曼空间，而对于一个常系数的二次型
\[
ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu
\]
若\(\det{|g_{\mu\nu}|}\neq0\)，则必能找到坐标变换，使得此度规矩阵转化为对角的，即使得转化后的系数\(\tilde{g}_{\mu\nu}\)满足方程(9)。一般情况下，黎曼空间中的\(g_{\mu\nu}\)一般不是常数，这时我们总可以用坐标变换把任意P点的度规\(g_{\mu\nu}(P)\)化为方程(9)的形式，当然我们也可以推得：如果区域V内度规张量场是常数，那么V内的空间是平坦的。
张量指标的升降
\(\qquad\) 在黎曼空间中，逆变指标和协变指标的转换可以通过度规张量进行，例如：
\[
T_{\mu\nu}=g_{\mu\alpha}T^\alpha_\nu
\]
这样就完成了张量指标的下降，当然当\(\det|g_{\mu\nu}|\neq0\)，我们可以定义逆变的度规张量\(g^{\mu\nu}\)，它其实就是原本协变的度规张量\(g_{\mu\nu}\)的逆矩阵，写成爱因斯坦求和的形式就是：
\[
g^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}=\delta^\mu_\lambda
\]
这样就可以进行张量矩阵的指标上升：
\[
T^{\mu\nu}=g^{\mu\alpha}T^\nu_\alpha
\]
总之，利用度规可以把任一个张量形式的物理量或几何量表示成逆变的、协变的或者混合的形式。
克里斯朵夫(Christoffel)联络
\(\qquad\) 我们前面提到过，仿射空间中可以通过联络定义张量的平移，进而定义较好性质的协变微商，但同时空间中的联络并非唯一的，我们前面提到，在广义相对论的计算中，我们一般采用对称联络，这种联络就被称为克里斯朵夫联络，我们可以证明这种联络是完全由度规场决定的。
\(\qquad\) 考虑P点的逆变矢量\(A^\mu(P)\)，我们可以借助某一联络将他平移到临近点Q：
\[
A^\mu(P\to Q)=A^\mu(P)-\Gamma^\mu_{\nu\lambda}(P)A^\nu(P)dx^\lambda
\]
在黎曼空间中，我们曾经规定过平移操作不改变矢量的长度，则应有：
\[
g_{\mu\nu}(Q)A^\mu(P\to Q)A^\nu(P\to Q)=g_{\mu\nu}(P)A^\mu(P)A^\nu(P)
\]
再通过联立度规场的泰勒展开的微分公式：
\[
g_{\mu\nu}(Q)=g_{\mu\nu}(P)+g_{\mu\nu,\lambda}(P)dx^\lambda
\]
将方程(14)和(16)代入方程(15)中并保留一阶小量，我们可以得到：
\[
g_{\mu\nu,\lambda}-g_{\alpha\nu}\Gamma^\alpha_{\mu\lambda}-g_{\mu\alpha}\Gamma^\alpha_{\nu\lambda}=0
\]
这个方程可以给出\(n^2(n+1)/2\)个独立的方程，所以这时我们需要规定几何联络是具有对称性的，即对于挠率为0的空间进行计算，这样我们就可以确定出联络的表达式：
\[
\Gamma_{\nu\lambda\mu}=g_{\alpha\nu}\Gamma^\alpha_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}(g_{\mu\nu,\lambda}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\lambda\mu,\nu})
\]
也可以写成更常用的形式：
\[
\Gamma^\alpha_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}g^{\alpha\nu}(g_{\mu\nu,\lambda}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\lambda\mu,\nu})
\]
\(\qquad\) 对于广义相对论中使用的无挠率的黎曼空间，这时我们有一条重要的定理：在坐标\(x^\mu\)下P点的联络为\((\Gamma^\lambda_{\mu\nu})_P\)，我们总可以找到坐标变换\(x^\mu\to \tilde{x}^\mu\)，使得：
\[
(\tilde{\Gamma}^\lambda_{\mu\nu})_P=0
\]
证明方法如下：我们让坐标变换\(x^\mu\to \tilde{x}^\mu\)满足：
\[
x^\mu-x^\mu_P=\tilde{x}^\mu+\frac{1}{2}C^\mu_{\alpha\beta}\tilde{x}^\alpha\tilde{x}^\beta
\]
其中\(C^\mu_{\alpha\beta}=C^\mu_{\beta\alpha}\)，并且都是常数，原本P点的坐标为\(x^\mu_P\)，新坐标\(\tilde{x}^\mu_P=0\)，从(21)式中可以得到：
\[
\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial\tilde{x}^\lambda}\right)_P=\delta^\mu_\lambda,~~\left(\frac{\partial\tilde{x}^\mu}{\partial x^\lambda}\right)_P=\delta^\mu_\lambda,~~\left(\frac{\partial^2x^\mu}{\partial\tilde{x}^\lambda\partial\tilde{x}^\nu}\right)_P=C^\mu_{\lambda\nu}
\]
将计算的结果代入张量及其运算章节中的方程(20)中可以得到：
\[
(\tilde{\Gamma}^\lambda_{\mu\nu})_P=(\Gamma^\lambda_{\mu\nu})_P+C^\lambda_{\mu\nu}
\]
这里我们只需要令\(C^\lambda_{\mu\nu}=-(\Gamma^\lambda_{\mu\nu})_P\)，这样(20)式就满足了，命题就得到了证明。这说明对于采用对称联络的黎曼空间中任一点P，总可以找到一组适当的坐标，使得从这组坐标看来P点的领域是近似平坦地，这也是广义相对论的等效原理的数学基础。
黎曼空间中的测地线
\(\qquad\) 对任意一条曲线我们可以引入一个标量积分：
\[
s=\int^P_{P_0}ds
\]
其中\(ds\)是曲线上相邻两点之间的不变距离，\(P_0\)是曲线上的固定点，\(P\)是曲线上的任意点。\(s\)就是曲线上\(P_0\)至\(P\)的固有长度。我们可以以\(s\)为参量，切矢量\(u^\mu\)定义为：
\[
u^\mu=\frac{dx^\mu}{ds}
\]
首先注意到对于切矢量，有\(g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=1\)，对这个式子求协变微商，并且注意到\(g_{\mu\nu;\lambda}=0\)，这样我们就有：
\[
g_{\mu\nu}u^\mu_{;\lambda}u^\nu+g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu_{;\lambda}=0
\]
由于度规是对称的，即\(g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}\)，于是我们可以得到：
\[
u_\nu u^\nu_{;\lambda}=0
\]
我们以前写出过测地线方程的一般形式：
\[
\frac{du^\mu}{ds}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}u^\rho u^\sigma=f(s)u^\mu
\]
我们尝试解出\(f(s)\)：
\[
f(s)=u_\mu\left(\frac{du^\mu}{ds}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}u^\rho u^\sigma\right)
\]
注意到\(du^\mu/ds=u^\mu_{,\sigma}u^\sigma\)，我们可以得到：
\[
f(s)=u_\mu(u^\mu_{,\sigma}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}u^\rho u^\sigma)=u_\mu u^\mu_{;\sigma}u^\sigma=0
\]
因此\(s\)是仿射参量，相应的测地线方程是：
\[
\frac{du^\mu}{ds}+\Gamma^\mu_{\rho\sigma}u^\rho u^\sigma=0
\]
黎曼空间的曲率张量
\(\qquad\) 在使用克里斯朵夫联络的黎曼空间后的曲率张量会具有一些新的对称性，首先由于联络是对称的，曲率张量不仅有对称性：
\[
R^\rho_{\lambda\mu\nu}=-R^\rho_{\lambda\nu\mu}
\]
以及：
\[
R^\rho_{\lambda\mu\nu}+R^\rho_{\mu\nu\lambda}+R^\rho_{\nu\lambda\mu}=0
\]
为了将对称性表示的更加明白，我们通过度规将指标下降：
\[
R_{\rho\lambda\mu\nu}\equiv g_{\rho\sigma}R^\sigma_{\lambda\mu\nu}
\]
All in all，黎曼空间中的曲率张量具有以下四组对称关系：
-
\(\mu\nu\)反对称：
\[ R_{\rho\lambda\mu\nu}=-R_{\rho\lambda\nu\mu} \] -
\(\rho\lambda\)反对称：
\[ R_{\rho\lambda\mu\nu}=-R_{\lambda\rho\mu\nu} \] -
\(\rho\lambda,\mu\nu\)对称：
\[ R_{\rho\lambda\mu\nu}=R_{\mu\nu\rho\lambda} \] -
\(\lambda\mu\nu\)反对称：
\[ R_{\rho\lambda\mu\nu}+R_{\rho\mu\nu\lambda}+R_{\rho\nu\lambda\mu}=0 \]
下面我们分析以下曲率张量可能的独立分量，首先由于1，2两条性质，\(\mu\neq\nu,\rho\neq\lambda\)，所以其可能取值为：
\[
\mu\nu=01,02,03,12,13,23
\]
再利用第3条性质，\(\rho\sigma\mu\nu\)的可能取值有\(C^2_6+C^1_6=21\)种，而对于第4个条件，又会减少一种取值，因此四维黎曼空间的\(R_{\rho\sigma\mu\nu}\)共有20个独立分量。我们可以利用曲率张量的相关运算组成一些其他有用的张量，例如Ricci张量：
\[
R_{\mu\nu}\equiv R^\lambda_{\mu\lambda\nu}
\]
里奇张量有对称性\(R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}\)，另外有曲率标量和Einstein张量：
\[
R\equiv g^{\nu\mu}R_{\mu\nu}
\]
\[ G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R \]
最后我们介绍一下黎曼曲率张量的一个有用(?)的恒等式，毕安基(Bianchi)恒等式。由黎曼张量的定义：
\[
R^\rho_{\lambda\mu\nu}=-\Gamma^\rho_{\lambda\mu,\nu}+\Gamma^\rho_{\lambda\nu,\mu}-\Gamma^\sigma_{\lambda\mu}\Gamma^\rho_{\sigma\nu}+\Gamma^\sigma_{\lambda\nu}\Gamma^\rho_{\sigma\mu}
\]
我们可以证明一个循环关系：
\[
R^\rho_{\lambda\mu\nu;\sigma}+R^\rho_{\lambda\nu\sigma;\mu}+R^\rho_{\lambda\sigma\mu;\nu}=0
\]
这个关系就叫做毕安基恒等式。想证明这个恒等式可以采用某个点上联络为0的坐标进行，这样计算会简化很多，我们可以得到：
\[
R^\rho_{\lambda\mu\nu;\sigma}=-\Gamma^\rho_{\lambda\mu,\nu;\sigma}+\Gamma^\rho_{\lambda\nu,\mu;\sigma}
\]
这样我们就可以得到上面的毕安基恒等式。通过这个恒等式，我们可以得到一些推论，例如将式(44)中的\(\rho\)和\(\sigma\)缩并，则有：
\[
R^\sigma_{\lambda\mu\nu;\sigma}+R_{\lambda\nu;\mu}-R_{\lambda\mu;\nu}=0
\]
通过度规的升降指标，可以将其简化为：
\[
\left(R^\nu_\mu-\frac{1}{2}\delta^\nu_\mu R\right)_{;\nu}=0
\]
这说明爱因斯坦张量的协变散度恒等于0。
PS：写着部分主要是强迫症犯了想把张量这部分补全，但实际上这一部分我主要以记忆为主了，所以没啥特别好的心得，而且内容也大量借鉴了余允强老师的《广义相对论引论》，见谅见谅QWQ
